Hiparco e a distância da Lua

Para medir a distância da Terra à Lua, Hiparco (190-120 AEC) não precisou nem mesmo saber o diâmetro da Terra. Ele imaginou uma geometria com a qual, durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exatamente entre o Sol e a Lua, seria possível calcular a distância da Terra à Lua.

Hiparco foi um dos maiores astrônomos gregos e entre suas muitas contribuições estão os fundamentos da trigonometria. Aliás, sua construção geométrica baseia-se justamente na medida de ângulos.

Acompanhe o diagrama abaixo. Hiparco imaginou dois triângulos retângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunar, por ocasião de um eclipse da Lua.

Diagrama 1
Sol, Terra e Lua não estão em escala.

Podemos notar que a duração de um eclipse lunar é equivalente a duas vezes o ângulo d. Vamos escrever nossa primeira equação: 2 × d = T1. O período orbital da Lua, ou seja, o tempo que ela gasta para completar uma volta (360°) em torno da Terra já era conhecido.

Vamos representá-lo como T2 e escrever a segunda equação: 360 = T2. Como podemos medir o tempo T1, a única variável é d, obtida com as duas equações numa regra de três simples e direta.

O ângulo c é chamado semi-diâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a é tão pequeno que pode ser desprezado, ele representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.

Dos estudos de trigonometria básica extraímos a propriedade pela qual a + b = c + d. Como a é muito pequeno basta-nos escrever b = c + d.

Diagrama 2
A engenhosa geometria que Hiparco utilizou para medir a distância Terra-Lua é trivial para qualquer bom aluno do Ensino Médio.

Mas o que Hiparco queria mesmo era X, você concorda? Note que o seno de b será R ÷ X. Se ele calculasse b obteria o seu seno, consultando as velhas tábuas trigonométricas.

Sobraria R, o raio da Terra. Hiparco também poderia expressar o resultado como uma função de R, isto é, quantos raios da Terra existem até a Lua – o que já seria um excelente resultado.

O resultado de Hiparco foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real fica entre 57 e 64, mas seu erro é justificável face à precisão requerida nas medidas angulares. Acima de tudo, que método elegante, que conclusão arrebatadora!  Fim

 

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