Como medir distâncias no espaço
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JOSÉ ROBERTO V. COSTA Astronomia no Zênite O Universo é tudo para nós

Aristarco de Samos e a distância Terra-Sol
ARISTARCO DE SAMOS (310-230 a.C.) ACREDITAVA QUE A TERRA SE MOVIA EM TORNO DO SOL e estudava um modo de medir a distância do Sol e o tamanho da Lua.

Na mesma época de Eratóstenes, ele usou uma geometria elegante e de extrema simplicidade para medir a distância Terra-Sol, já conhecendo a distância da Terra à Lua. O que nos leva a imaginar o quanto da sabedoria antiga se perdeu ao longo da história.

Repare como é simples. Aristarco sabia que quando a Lua exibia um quarto iluminada (crescente ou minguante) era possível desenhar o triângulo retângulo da figura abaixo.

A distância B corresponde a que existe entre a Terra e a Lua, o ângulo A à separação angular entre a Lua e o Sol, visto por um observador na Terra. Então, para calcular a distância C basta lembrar que ela é B dividida pelo cosseno do ângulo A, pois o cosseno de um ângulo é a medida do cateto adjacente a esse ângulo, no caso B, dividido pela hipotenusa do triângulo retângulo, C.

Trigonometria elementar para calcular a distância da Terra ao Sol. cos A = B ÷ C logo C = B ÷ cos A.

É claro que tamanha simplificação traz limitações ao resultado. Porém, o maior desafio aqui é saber o instante exato da Lua em quarto crescente ou minguante, para que o ângulo A reflita um resultado pelo menos aproximado.

Além disso, como precisamos de valores trigonométricos, boas tábuas tinham de ter sido elaboradas antes. Vale lembrar que, naquela época, a constante pi (3,14159...) era calculada como 22 ÷ 7.

Qual o tamanho da lua?
TODAS AS VEZES QUE VEMOS um objeto sob um ângulo de 1 grau é porque ele está, necessariamente, afastado de nós 57 vezes o seu tamanho. Como sabemos disso? É fácil. Basta recordar o conceito de tangente e verificar que a tangente de 1° (um grau) vale aproximadamente 0,01745.

Podemos continuar o raciocínio e verificar que se observarmos um astro sob um ângulo de 30 minutos de arco (meio grau), ele estará afastado cerca de 115 vezes o seu diâmetro.

Acontece que vemos a Lua Cheia sob um ângulo médio de 31 minutos de arco, o que nos diz que ela esta distante de nós cerca de 115 vezes o seu diâmetro. Se você já conhece a distância da Terra à Lua, agora também já pode saber o seu diâmetro. Daí também não será difícil calcular o volume, a área da superfície...

Conclusões
PODEMOS LAMENTAR QUE AS AULAS de geometria da maioria de nós nunca tenham ido tão longe. Podemos imaginar o estado de êxtase ao qual Eratóstenes, Hiparco, Aristarco e tantos outros se depararam ao vislumbrar métodos tão simples, descobertas tão soberbas.

Não tem a menor importância se os resultados divergiram dos que hoje obtemos quando disparamos um raio laser contra a Lua, e o fazemos refletir de volta, com intuitos semelhantes. Não importa que agora já dispomos de algoritmos que permitem medidas muito mais ousadas. O importante é ressaltar o quanto a imaginação vale mais que o conhecimento.

+ Eratóstenes e a circunferência da Terra + Hiparco e a distância da Lua + O método da paralaxe + Unidades astronômicas